zapis żonglerski

autor: Jacek

Użyteczną metodą, którą stosuje się do opisu schematu żonglowania, jest zapis zmian położeń (site-swap), którą około 1985 roku wprowadzili niezależnie Paul Klimek z University of California w Santa Cruz, Bruce Tiemann z California Institute of Technology i Michael Day z University of Cambridge. Zapis zmian położeń jest zwartą notacją reprezentującą kolejność, w jakiej żonglowane obiekty są rzucane i chwytane w każdym cyklu przy założeniu, że rzuty odbywają się w równych odstępach czasu.{mosimage}

Aby zrozumieć, na czym to polega, rozważmy podstawową kaskadę z trzech piłek. Pierwsza piłka jest rzucana w chwilach 0,3,6..., druga w chwilach 1,4,7..., a trzecia w chwilach 2,5,8... W zapisie zmian położeń czasy pomiędzy rzutami służą do scharakteryzowania tego schematu. W rozważanej kaskadzie czas pomiędzy wyrzucaniem każdej kuli wynosi trzy jednostki, a więc zapis jej zmian położenia będzie 33333... lub po prostu 3. Prysznic z trzech piłek (pierwsza piłka 0,5,6,11,12..., druga piłka 1,2,7,8,13..., trzecia piłka 3,4,9,10,15...) przyjmie postać 51, gdzie 5 oznacza długość wysokiego podrzutu, a 1 czas potrzebny na przełożenie kuli z jednej ręki do drugiej po niskim łuku. Inne zmiany położenia w przypadku żonglowania trzema piłkami to 441, 45141, 531 i 504. (0 oznacza spoczynek - piłka nie jest ani rzucana, ani chwytana).
Najłatwiej zrozumieć, jak piłki są rzucane przy danym zapisie, jeśli narysuje się diagram z łukami i osią czasu ze skalą. Punkty o parzystych współrzędnych na skali czasu odpowiadają rzutom prawą ręką, a punkty o nieparzystych współrzędnych - rzutom lewą ręką.
Rozpatrzmy jako przykład schemat 531. Napiszmy liczby 5,3,1 kilka razy w rzędzie, każdą po kolejnym punktem na osi zaczynającej się od 0. Liczbą pod punktem 0 jest 5, rozpoczynając więc od tego punktu, narysujmy łuk o średnicy pięciu jednostek do punktu 5 reprezentujący rzut, który jest dostatecznie wysoki, aby piłka była w powietrzu pięć jednostek czasu. Liczbą poniżej punktu 5 jest 1, narysujmy zatem łuk o średnicy 1 z punktu 5 do punktu 6. Punkt 6 ma pod sobą liczbę 5, a więc następny łuk prowadzi od punktu 6 do punktu11. W ten sposób prześledziliśmy ruch pierwszej piłki, który jest taki sam jak ruch pierwszej kuli w prysznicu 51 opisanym poprzednio. Powtórzmy cały proces, zaczynając odpowiednio od czasów 1 i 2, aby prześledzić ruch pozostałych dwóch piłek. W rezultacie pierwsza i trzecia piłka poruszają się tak jak w prysznicu, lecz w przeciwne strony, podczas gdy druga piłka oscyluje między nimi w rytmie kaskady. Jeśli opuścimy tę środkową piłkę, otrzymamy ładny i prosty schemat rzucania dwóch piłek - 501.
Nie wszystkie ciągi liczb dają się przetłumaczyć na dopuszczalne schematy żonglowania. Na przykład liczby 21 prowadzi do lądowania obu piłek jednocześnie w jednej ręce (mimo, że bardziej zawiłe ciągi w notacji zmiany położeń, pozwalają, by więcej piłek niż jedna było chwytanych lub wyrzucanych w tym samym czasie).
Notacja zmian położeń doprowadziła do odkrycia schematów, które zyskują na popularności, ponieważ ładnie wyglądają, na przykład 441, lub też przydatne są w uczeniu się innych schematów (np. 5551 z czterema piłkami będący wstępem do do opanowania kaskady pięcioma piłkami). Istnieje kilka programów, które potrafią przeprowadzić animację dowolnego dopuszczalnego zapisu zmian położeń i zidentyfikować możliwe schematy. Taki program pozwala żonglerom zobaczyć, jak wygląda dany schemat, zanim go wypróbują, oraz przyjrzeć się sztuczkom praktycznie niewykonalnym dla człowieka.
Ciągi liczb, które dają dopuszczalne schematy, mają niespodziewane własności matematyczne. Na przykład liczba piłek potrzebnych do danego schematu jest równa średniej arytmetycznej liczb występujących w zapisie schematu zmian położeń. Dla przykładu - 441 potrzebuje trzech kul. Jak to sprawdzić?
(4+4+1):3=9:3=3
Można sprawdzać to na dowolnym przykładzie - zawsze się sprawdzi! To żadna magia - czysta matematyka.
Jest jeszcze kolejna własność zapisu żonglerskiego. Liczba dozwolonych schematów, których zapis ma n cyfr z użyciem b podniesionemu do potęgi n. Mimo swojej prostoty formuła ta okazała się nadspodziewanie trudna do udowodnienia. Teoria zmian położeń nie opisuje bliżej wszystkich możliwych sposobów żonglowania, ponieważ dotyczy tylko porządku, w którym piłki są rzucane i łapane. Nie uwzględnia innych aspektów tej sztuki, takich jak miejsce i styl rzucania i łapania. Większość popularnych sztuczek żonglerskich, takich jak rzucanie piłki spod nogi lub zza pleców jest wykonywana jako część regularnej kaskady, a więc ma tę samą notację zmian położeń.